Inhalt

• Über das Wahre in der Mathematik und das Reale in der Physik
• Eine Formel für die Anzahl π(n) der Primzahlen ≤n
• Ein Axiomensystem für eine Mengenlehre unter Ausschluss des Axioms der Teilmenge

Werner Ziemann

Über das Wahre in der Mathematik und das Reale in der Physik

Sachbuch

Über das Wahre in der Mathematik und das Reale in der Physik

Antinomien sind teuflisch, man muß sie meiden, wo man nur kann; Paradoxien aber haben etwas Magisches, sie verleihen einem vermeintlich „Wissenden“ den Glanz etwas zu verstehen, was niemand verstehen kann. Ich denke dabei etwa an das Zwillingsparadoxon der Relativitätstheorie. Zunächst aber möchte ich mich der Mathematik und ihren Paradoxien zuwenden und – am Rande – eine Formel für die Anzahl der Primzahlen angeben.¹

Das Zählen in eine Unendlichkeit hinein, das ist unsere Urvorstellung. Sie fand ein Ende mit der Cantorschen Mengenlehre.

Hinter dem 1,2,3, ... soll es danach eine unendliche Zahl geben, Zeichen ω, mit der die Zählung neu beginnt und in eine sogenannte Überabzählbarkeit hinein fortgesetzt wird.

Kamkes Göschenbändchen war das erste Buch über Mengenlehre, das ich in die Hand bekam. Mich interessierten darin besonders die Schlußbemerkungen über die „Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten“- die Antinomie von Zermelo-Russel – und „die Menge aller Mengen“ – die Antinomie von Burali-Forti.

Mit dem paradoxen 1 + ω = ω, mit der Überabzählbarkeit und ihren von den Formalisten gefeierten Paradoxien wollte ich mich von Beginn an nicht abfinden.

Viele Jahre später erwarb ich die MENGENLEHRE (Einführung in die axiomatische Mengenlehre) von Jürgen Schmidt. Ich war mit meiner inhaltlichen Denkweise beim Formalismus angekommen.²

Formalistisch ist es, sich auf die formale Korrektheit, auf die Logik zu beschränken. Logik ist eine Notwendigkeit, aber das mathematisch Wahre, das Inhaltliche, geht darüber hinaus.

Versuchen wir es doch einmal, in das Unendliche hineinzuzählen! Dazu definieren wir die natürlichen Zahlen nach J. v. Neumann durch

usw.

Jede natürliche Zahl x hat so einen durch x⁺ = x { x } bestimmten Nachfolger.

Als allgemeine natürliche Zahl erhalten wir in anschaulicher Darstellung den Ausdruck

Je größer die Zahlen, desto weniger unterscheiden sie sich voneinander, so als würden im Unendlichen alle Zahlen in ein gleichbleibendes Element u übergehen. Wird die Klasse der natürlichen Zahlen dem v. Neumannschen Verfahren entsprechend durch den Klassenterm

definiert¹), so folgt

und damit tatsächlich

(Da jede natürliche Zahl einen Nachfolger besitzt, es also keine größte natürliche Zahl gibt, muß übrigens bereits ein x u mit x x existieren.)

Jedes x u außer der 0 hat dann, wie auch u selbst, einen unmittelbaren Vorgänger.

Vorgänger und Nachfolger unendlicher natürlicher Zahlen - und damit weitere Mengen des -Bereichs sind bisher nicht unterscheidbar. Eine Unterscheidung setzt eine neue Gleichheitsbeziehung voraus, die ihrerseits auf einer neuen Elementbeziehung – Zeichen – beruhen müßte.

Da die mit ⁺