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Es curioso analizar por qué se nos ocurren las cosas. Dice Bertrand Russell en su ensayo La conquista de la felicidad que “el cerebro es una extraña máquina capaz de combinar de la manera más asombrosa los materiales que se le ofrecen”. Y que las ideas son a menudo puzles que se forman en nuestra mente a partir de pistas dispersas y aparentemente inconexas, sin que seamos conscientes de todo el pro-ceso de construcción.

En marzo de 2011 mi gran amiga de la infancia Marta Arocha me animaba a ser más creativo en mi trabajo. El País lanzaba una colección de libros de matemáticas que se venderían con el periódico. Mi compañera Patricia Gosálvez publicaba una entre-vista con Adolfo Quirós, portavoz de la Real Sociedad Matemática Española (RSME) que cumplía cien años (la sociedad, no Adolfo). Y mi colega de marketing Elena León me comentaba que hacían falta ideas nuevas para vender los productos del diario.

Sin que yo fuera consciente de ello, todos esos datos se fueron cocinando en mi cabeza como los ingredientes de un guiso en la olla. Y una tarde, volviendo a casa en metro, sin ningún esfuerzo deliberado por mi parte, me vino a la cabeza una idea que agrupaba a todos: proponer a nuestros lectores desafíos presentados por gente de la RSME, celebrar así el centenario de la sociedad y, de paso, promocionar nues-tra colección de matemáticas, con la que premiaríamos a los acertantes. En tiempo récord, porque el primer libro salía el domingo, el viernes 18 de marzo el propio Qui-rós presentaba en vídeo a los lectores el desafío inaugural.

Al día siguiente tres noticias ocupaban con suficiencia el podio de lo más leído en la web de EL PAÍS. Los aliados se habían decidido por fin a atacar al régimen de Gada-fi. Seguía la incertidumbre en torno a la central nuclear de Fukushima, golpeada por el tsunami una semana antes. Y un señor barbudo con esa imagen que tenemos de los sabios despistados (aunque no sea en absoluto despistado, pero sabio sí) mos-

traba un mapa de carreteras y ciudades y retaba a los lectores a recorrerlas todas y volver a la salida sin pasar dos veces por el mismo lugar. Unos 120.000 internautas pincharon el vídeo y 3.400 enviaron sus soluciones. Acababan de nacer, con un éxi-to inesperado para sus promotores, nuestros desafíos matemáticos.

No es tan difícil triunfar un día. Lo complicado era mantener el pulso durante 30 se-manas, que luego fueron diez más, en parte porque el éxito de nuestros problemas llevó a marketing a prolongar la promoción. Pero entre todos lo conseguimos. Adolfo movilizó a matemáticos de toda España para que plantearan los desafíos y hasta logró que el futbolista internacional Juan Mata propusiera uno de ellos. Yo prolongué mi jornada para que, más o menos puntualmente, salieran los retos y las soluciones, y adonde no pude llegar llegó la generosidad de mi compañero José Luis Aranda, cómplice de esta aventura. Y la profesionalidad y la paciencia de los chicos de Mul-timedia, Paula Casado, Álvaro Rodríguez de la Rúa y Luis Almodóvar, se plasmaron en unos vídeos de estupenda calidad.

Ya lo sé: tampoco inventamos la rueda. Fue una iniciativa simpática, original y didác-tica que tuvo cierta repercusión, aunque sin trascendencia cósmica. Pero me hacía ilusión contarles cómo arrancó porque tras 15 años en este oficio del periodismo, y hasta ahora que emprendo una aventura al otro lado del océano, es el proyecto del que estoy más orgulloso, en el que he puesto más cariño y el que me ha hecho más feliz.

Aclaro que no soy experto en números. Estudié bachillerato mixto, me quedé en las integrales y las derivadas y no sacaba las mejores notas en esa asignatura. Pero desde niño, seguramente por influjo de mi abuelo Manolo, me apasionan la matemá-tica recreativa y los acertijos de lógica. Me encantan y voy más allá: creo que al que no le gusten es porque no se ha puesto a ello, por pereza o por un trauma infantil provocado por alguna mala pedagogía. Lo siento, en eso soy absolutamente intran-sigente.

Y para animar a quienes tuercen el gesto cuando se enfrentan a un desafío más complicado que una suma, voy a explicar los dos mejores motivos que encuentro para amar esta ciencia. A ver si evangelizo a algún escéptico. Primero, las matemáti-cas son divertidas. Me ofrecen un entretenimiento barato, sano e inagotable.

Les cuento un ejemplo: hace un mes compré un libro con problemas numéricos y de ingenio. Resolví bastantes pero uno se me resistió, lo memoricé y desde entonces lo uso como antídoto contra el aburrimiento. Cuando el metro se para entre dos esta-ciones, en los viajes trasatlánticos en los que ya no sé como distraerme, cuando in-tento dormir y el sueño no llega, hago gimnasia mental y pienso en el problema. Sé que algún día lo resolveré y, les garantizo, sentiré una alegría no menor a la del fut-bolista que marca un gol en un partido clave o a la del arqueólogo que encuentra el sarcófago de un faraón tras meses de picar piedra.

Y segundo, dan certezas. A las personas moderadas, que vemos grises donde otros ven blancos y negros, nos cuesta expresar ideas demasiado contundentes sobre casi nada y agradecemos que los números nos den verdades indubitables a las que aga-rrarnos. Me cuesta ensalzar o denostar de plano, sin hacer muchos matices, la labor de un político o el juego de un equipo de fútbol. Pero puedo llegar a la violencia (verbal) si alguien pone en duda que los números primos son infinitos. Porque sé demostrar que no se terminan nunca, igual que no se acaba la felicidad que pueden proporcionarnos las matemáticas si tenemos la paciencia de escucharlas.

Bernardo Marín García, periodista responsable de la delegación de El País en México.

En marzo de 2011, con ocasión de la celebración del Centenario de la Real Sociedad Matemática Española (RSME), Bernardo Marín, periodista del diario El País, me pro-puso presentar en la web del periódico una serie de problemas para los lectores. Gracias a la colaboración de un gran equipo, el proyecto salió adelante en forma de vídeos en los que cada semana se proponía un desafío matemático que se resolvía, también en vídeo, a la semana siguiente. Creo que no es pecar de inmodestia decir que la iniciativa fue un éxito, ya que los cuarenta desafíos que finalmente se presen-taron recibieron, en su conjunto, cerca de un millón de visitas1.

El interés mostrado por los lectores nos hizo pensar en dejar testimonio permanente de los desafíos y, de paso, pulir los inevitables defectos consecuencia del ritmo ace-lerado de trabajo al que obligaba la publicación semanal en la web. La RSME encon-tró un apoyo entusiasta en la Editorial SM, en el marco de la colección conjunta Bi-blioteca Estímulos Matemáticos.

El resultado es el libro que tienes entre las manos, una obra coral con sesenta autores de muy diversas edades y categorías profesionales y académicas. Autores que representan las diversas formas de hacer, enseñar, aprender, aplicar o disfrutar las matemáticas: estudian-tes de ESO y Bachillerato, universitarios y licenciados con máster o doctorado; profesores de instituto y universidad; profesionales de la industria o del sector servicios, deportistas… Una gran variedad que deseamos que se corresponda también con nuestro público lector.

La versión escrita que aparecía en la web de El País, tanto de los planteamientos como de las soluciones, estaba concebida solo como complemento a los vídeos.

1 Si algún lector está interesado en conocer detalles de cómo se desarrolló el proyecto, puede consultar el artículo publicado en La Gaceta de la RSME, vol. 15 (2012), núm. 1, págs. 41–52 (accesible en la pá-gina web de la revista, http://gaceta.rsme.es/).

Para la presente publicación, los autores han podido tomar en consideración los co-mentarios que recibieron en su día, detectar los puntos confusos del original, desa-rrollar con más cuidado algún aspecto y, en ocasiones, añadir información adicional sobre el desafío que cada uno proponía.

Estamos, por tanto, convencidos de que los cuarenta desafíos volverán a ser intere-santes también para quienes se enfrentaron a ellos ya en 2011. Si los resolvieron todos (algún caso hubo), ahora encontrarán material complementario y otras referen-cias; si alguno se les resistió, el contexto les ayudará a resolverlo. Y para quienes no se atrevieron o no llegaron a conocer la iniciativa en la web, podrán enfrentarse, con calma y siguiendo el orden que deseen, a cuarenta desafíos matemáticos muy diver-sos que no requieren grandes conocimientos técnicos.

La diversidad es, en mi opinión, uno de los valores que aporta el formato elegido. El libro no está concebido como un material didáctico que enseñe a resolver proble-mas, sino como una colección de retos para la mente inquieta. Por eso elegimos el nombre “desafíos” (y no “problemas”) y por eso se ha respetado la forma de exponer-los de los distintos autores. De hecho pensamos que abordar estos desafíos puede suponer, salvando las evidentes distancias, una experiencia similar a la que se tiene cuando se hace investigación en matemáticas.

• Al contrario de lo que sucede habitualmente en la enseñanza reglada, los investi-gadores se enfrentan a problemas2 que no están clasificados: se tiene una idea de en qué campo se enmarca, pero no se sabe si es un “problema de…”.

• No se conoce a priori qué herramientas habrá que usar para resolverlos.

• Unos problemas se resisten más que otros. Y no siempre está claro al empezar a trabajar cuánto se van a resistir. Por eso es frecuente que los investigadores den vueltas a varios problemas simultáneamente, pasando de uno a otro, bien para refrescarse pensando de un modo distinto, bien confiando en que las ideas que resulten útiles en un caso puedan ayudar en otro.

• Unas veces las soluciones cierran completamente un problema concreto; otras veces de la solución surgen nuevos casos o generalizaciones de interés. En oca-siones, lo que empezó como una pregunta específica adquiere vida propia y da lugar a toda una teoría.

Hemos intentado reflejar todo esto en la estructura y presentación del libro:

• Los desafíos están ordenados en diez capítulos temáticos con fronteras difusas (¿no son acaso geometría los triángulos?). La decisión sobre dónde poner cada uno ha sido fundamentalmente “estética”: si al lector le ha gustado un desafío, quizá disfrute con los demás del capítulo. Pero, teniendo en cuenta lo personal de

2 Espero que se disculpe la aparente contradicción que supone usar ahora este término.

los gustos, no garantizamos haber acertado.

• La clasificación por capítulos tiene poco que ver con las herramientas que se han de utilizar en los desafíos. Por supuesto, como sucede en la investigación, hay técnicas que se sabe que son útiles en un determinado campo. Por ejemplo, es importante conocer propiedades y fórmulas para los triángulos. Pero también hay herramientas que se pueden utilizar en contextos variados. Un caso notable en este libro es el llamado “principio del palomar”. El lector lo encontrará varias veces en distintos capítulos, pero no necesita saber su nombre para usarlo (también esto es frecuente en investigación).

En todo caso, lo más importante para resolver los desafíos es el ingenio y la per-severancia. Los conocimientos técnicos necesarios no superan en ningún caso los del bachillerato de Ciencias. Es más, me atrevo a decir que, con la excepción quizá del capítulo dedicado a la probabilidad, todos los desafíos se pueden resol-ver con lo que se aprende hasta los dieciséis años y pensando ordenadamente. Y en muchos solo hace falta pensar ordenadamente, así que no hay límite (ni inferior ni superior) de edad para atacarlos.

• El libro es una obra colectiva, pero no conjunta. Aparte de los obvios requisitos editoriales, cada uno de los autores (o equipos de autores) ha tenido libertad para presentar su contribución como ha considerado más oportuno. Resulta así que los cuarenta desafíos son totalmente independientes, tanto en contenido como en estilo. Se puede decidir qué orden seguir, dejar uno para más tarde, pensar en varios a la vez, abandonar los que no nos resulten atractivos o, por el contrario (ya hemos mencionado lo personal de los gustos), enfrascarse en alguno que nos atraiga especialmente hasta seguir todas las pistas abiertas en la correspondiente sección “Más información”.

• La diversidad alcanza también a esas secciones de “Más información”. Algunos de-safíos se abren y cierran casi en sí mismos. Otros son un pico en una cordillera, y los autores aprovechan para indicarnos qué otras montañas próximas podemos intentar escalar. En ocasiones son ejemplos de teorías completas y el “Más información”, quizá algo más técnico en esos casos, nos las presentan con unas pinceladas. Hay incluso desafíos que han permitido a los autores guiarnos hacia problemas abiertos.

¿Qué tipo de desafíos proponen los diferentes capítulos?

El capítulo 1 , “Estrategia”, pide encontrar estrategias óptimas para cuatro “juegos” distintos. Este capítulo no requiere ningún conocimiento matemático, solo pensar estructuradamente. No obstante, uno de los desafíos está estrechamente relaciona-dos con investigación activa hoy día en Teoría Aditiva de Números.

El segundo capítulo, “Cuadrados y rectángulos numéricos”, presenta cuatro desafíos

que requieren “distribuir números espacialmente”. Dos de ellos tratan sobre cuadra-dos mágicos en sentidos diferentes del habitual. Hay dos con otro sabor que pueden verse como “aplicación lúdica” de las matemáticas escolares.

Los tres desafíos del capítulo 3 son muy distintos. Los une el título: “A contar”. Uno de ellos plantea un problema real de “matemática electoral”. Los otros dos encierran resultados matemáticos importantes que no es necesario conocer para resolver los desafíos, pero puede ser una buena ocasión para aprenderlos.

El nombre del capítulo 4, “Triángulos”, es suficientemente explícito. Los cuatro desa-fíos, de dificultad variable, permitirán utilizar algunas de las fórmulas conocidas y también descubrir (¿o refrescar?) un par de teoremas importantes sobre los polígo-nos (aparentemente) más sencillos.

Los seis desafíos del capítulo 5 tratan de decidir si “¿Se puede o no se puede?” realizar una cierta tarea o llevar un sistema a un estado determinado. Esto tal vez confunda a algunos lectores, dado que contradice la idea muy extendida de que “las matemáticas siempre dan un resultado”. Sin embargo, es quizá uno de los capítulos en que con más fuerza aparece la forma matemática de pensar, dado que “no se puede” no significa (como con frecuencia en la vida diaria) “no soy capaz” o “no se me ocurre cómo”, sino “he dado una demostración de que nadie será capaz de hacerlo”. Por su parte, “se puede” quiere decir “he encon-trado un procedimiento (un algoritmo en jerga técnica) que garantiza, sin dejar lugar a dudas, llegar al resultado deseado”. Y de paso alguno de los desafíos nos adentra en áreas que son de gran importancia en las aplicaciones de las matemáticas.

La palabra “Aritmética” en el título del capítulo 6 no se refiere a operar con las cuatro reglas, sino a estudiar las propiedades profundas de los números enteros y, por tan-to, sus cinco desafíos podrían encuadrarse en lo que en matemáticas se conoce como Teoría de Números. El lector podrá ver en acción algunas ideas básicas de este campo y encontrará alguna información sobre la aplicación de la matemática avanzada a la criptografía.

El capítulo 7, “Recubrimientos”, es quizá el más homogéneo. Sus tres desafíos se preguntan cómo cubrir una mesa con piezas, manteles o círculos. Podría parecer lo mismo, pero el lector que aborde los tres descubrirá que no siempre problemas pa-recidos se resuelven de la misma manera.

El capítulo 8 se llama “¡Vaya números!”. Podríamos haber incluido sus tres desafíos en el capítulo sobre aritmética, pero hemos decidido agruparlos en un capítulo sepa-rado para destacar su característica común: los números que se buscan son tan grandes que es literalmente imposible resolver los desafíos probando casos con ayuda de un ordenador. Los ordenadores son, sin duda, una herramienta cada vez más útil, también para los matemáticos, pero no es posible sustituir completamente

la matemática por ellos.

El capítulo 9, “Probabilidad”, puede parecer un poco más técnico que los demás. Pero el lector no debe arredrarse: para atacar los tres desafíos no son necesarios conocimientos profundos. Y al final, aunque no se mencionen, se habrá aprendido algo sobre conceptos tan esotéricos (y tan útiles) como los procesos estocásticos o la forma de generar números aleatorios. Teniendo en cuenta que el estudio de la probabilidad tiene su origen en los juegos de azar, no es de extrañar que uno de los desafíos sea sobre apuestas.

La “Geometría” del capítulo 10 ya había aparecido en los capítulos sobre triángulos y recubrimientos, pero aquí se reúnen cinco desafíos en los que se trata de construir objetos geométricos que resuelvan distintos problemas. Entre ellos los hay de optimi-zación, y uno sirve como excusa para hablar de algo tan importante como la clasifi-cación de superficies.

¡Que los disfrutéis!

Agradecimientos

Sin Bernardo Marín, Berni para los amigos, que tuvo la idea original de “los desafíos matemáticos”, el proyecto no habría nacido. Y sin José Luis Aranda, que se ocupó de él cuando las obligaciones profesionales de Berni lo llevaron por otros derroteros, sin duda habría descarrilado. A estos dos periodistas, demostración viva de que ciencias y letras no son conceptos antagónicos, mi más sincero agradecimiento. Por todo. Y a Berni, además, por aceptar prologar el libro.

El diario El País mantuvo durante cuarenta semanas los desafíos matemáticos en la portada de su web. Y, cuando eso acabó, Editorial SM recogió con entusiasmo el testigo de plasmar en papel el proyecto. Que estos dos grandes grupos hayan cola-borado con la iniciativa más visible de nuestro centenario merece el reconocimiento y un profundo agradecimiento por parte de la RSME.

La pieza imprescindible en todo esto han sido los autores, que prepararon desafíos, en ocasiones con muy poco tiempo, superaron el miedo que (puedo asegurarlo) provocan las cámaras y, ahora, han vuelto a buscar tiempo para dar a los desafíos una forma adecuada a su publicación como libro. A todas y a todos, a los cincuenta y nueve sin excepción, ¡muchas gracias!

Y, siendo sesenta los autores, todavía quedan muchos colaboradores entre bambali-nas fundamentales para el éxito de la misión: Julio Bernués, que coordinó los desa-fíos de Zaragoza (aunque debe quedar claro que Julio es oscense); Rafael Crespo, que hizo la misma tarea en Valencia (los coordinadores en otras ciudades figuran entre los autores); y la gente del Proyecto Estalmat, Marta Berini y Antoni Gomà en Cataluña y María Gaspar y Eugenio Hernández en Madrid, quienes, desde su inmen-

sa experiencia, nos ayudaron en la búsqueda de autores y desafíos. Este libro es también vuestro.

Y, por último, mi equipo, sin el que los desafíos habrían acabado mucho antes del número cuarenta (o yo habría muerto en el intento): M.ª Jesús Carro, Patricio Cifuen-tes, Javier Cilleruelo y María Moreno. Muchas gracias por estar siempre disponibles. Os debo una (o dos).

Adolfo Quirós GraciánUniversidad Autónoma de MadridCoordinador de los Desafíos del Centenario de la RSME

Cómo elegir un equipo goleador

Juan Mata

En un colegio, dos alumnos que son porteros de fútbol deciden organizar un partido de fin de curso. Formarán los equipos eligiendo cada uno diez jugadores, chicos y chicas, entre veinte de sus compañeros. Para ello, los veinte jugadores se ponen en fila y cada uno de los porteros ha de ir escogiendo de manera al-ternativa a uno de los dos jugadores que vayan quedando en los extremos de la fila.

Los porteros conocen el número de goles que cada uno de los jugadores marcaron en un torneo anterior. El objetivo de ambos es conseguir un equipo tal que la suma de goles marcada por sus jugadores en el torneo anterior sea superior a la del equi-po contrario.

Por ejemplo3, si en la camiseta de cada jugador está escrito el número de goles que ha marcado y el orden inicial es como este:

3 En el ejemplo no hemos escrito todos los números ni dibujado todos los jugadores para que quede claro que el desafío no se refiere a un caso concreto sino a una estrategia general.

Entonces el primer portero podrá elegir al jugador que ha marcado 10 goles o al que ha marcado 15. Si elige al que ha marcado 15, el segundo portero se encontrará ante esta situación:

y podrá elegir o bien al jugador con 10 goles o bien a la jugadora con 20 goles.

La primera parte del desafío consiste en demostrar que, independiente de la forma en que se coloquen los jugadores y de los goles que hayan marcado, existe una estrategia con la que el primero que elige nunca pierde (es decir, puede haber em-pates pero el número de goles del equipo del primero en elegir siempre es mayor o igual que el del segundo que elige).

El desafío tiene una segunda parte que consiste en dar respuesta a varias preguntas. Si la elección de los jugadores se hace entre un grupo de veintiuno (se entiende que quedará un jugador sin jugar), ¿existe una estrategia ganadora para el primero en elegir?, ¿existe una estrategia ganadora para el segundo?, ¿o no hay ninguna estra-tegia que garantice ganar siempre a uno de los dos?

Solución

Para la primera parte basta darse cuenta de que si enumeramos los veinte jugadores del 1 al 20 y de izquierda a derecha, es decir, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, el primero en elegir puede decidir si empieza por el juga-dor número 1 o por el jugador número 20: tiene la opción de elegir un jugador en posición impar o un jugador en posición par.

El primer paso de la estrategia ganadora consiste, por un lado, en sumar el número de goles marcados en el torneo anterior por todos los jugadores que están en posi-ción par y, por otro, hacerlo con los que están en posición impar. Si la suma de los goles marcados por los que están en posición impar es mayor o igual que la de los pares (por ejemplo, si los jugadores se colocan de la siguiente manera, donde los impares han marcado 79 goles y los pares 75), el portero que elige en primer lugar puede intentar quedarse con todos los jugadores situados en una posición impar; para ello empieza por elegir al jugador número 1.

En este caso, el portero que escoge en segundo lugar está entonces obligado a elegir un jugador que se encuentra en posición par (entre las de partida), ya que solo puede quedarse con el 2 o con el 20. Tanto si elige el 2 como si elige el 20, deja al portero que escoge en primer lugar la posibilidad de elegir un jugador que se encuentre en posición impar, el 3 (si el segundo ha seleccionado el 2) o el 19 (si el segundo ha elegido el 20). En ambos casos, obliga de nuevo al portero que elige en segundo lugar a coger un jugador que está en posición par. Y así sucesi-vamente.

Es decir, si el portero que elige en primer lugar escoge el jugador número 1, automá-ticamente tiene la opción de elegir a todos los jugadores que están en posición im-par y por tanto consigue su objetivo (recordemos que estamos suponiendo que la suma de los goles marcados por los que están en posición impar es mayor o igual que la de los que están en posición par).

Si la suma de los pares fuese mayor, el primer portero empezaría por elegir el 20, forzando al segundo a elegir un impar y así sucesivamente.

En cuanto a la segunda parte del desafío, si se ha de escoger entre veintiún jugado-res no hay estrategia posible que garantice que gana siempre uno de los dos porte-ros. Para comprobarlo vamos a ver un caso en el que gana claramente el primer portero en elegir y otro en el que puede ganar claramente el segundo.

• Ejemplo número 1: Todos los jugadores marcaron en el torneo anterior un gol, menos el que está en primera posición, que marcó dos:

2-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1

Evidentemente, el primero que elige escoge el jugador 1 (el que marcó dos goles) y consigue el objetivo. Es decir, no hay estrategia posible para el que elige en segundo lugar.

• Ejemplo número 2: Todos los jugadores marcaron en el torneo anterior un gol, menos el que está en posición 2 que marcó dos goles:

1-2-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1

En este caso, el que elige en primer lugar está obligado a elegir el que está en posición 21. Ambos jugadores evitarán, mientras sea posible, escoger al primero de la fila, porque, en caso contrario, el mejor jugador, situado en posición 2, que-daría libre para ser elegido por el portero contrario.

Como los dos advierten esta circunstancia, el segundo elegirá al 20, el primero al 19, el segundo al 18, etc., y el primero en elegir se encontrará necesariamente ante esta situación:

Llegados a este punto, haga lo que haga este primer portero, la jugadora que ha marcado dos goles será elegida por el segundo. Por tanto, ganará el segundo, inde-pendientemente de la estrategia seguida por el primero.

MÁS INFORMACIÓN

La estrategia propuesta en la primera parte del desafío es ganadora si los jugadores situados en posiciones pares e impares no han marcado el mismo número de goles.

En el caso de que los goles totales de los dos grupos sean los mismos, si el primer portero sigue esa estrategia solo conseguirá empatar con el segundo. Aunque así se cumplirían las condiciones del desafío, la estrategia presentada en este caso no sería óptima.

Hay otra estrategia que, garantizando el empate, puede permitir al primer portero ganar estrictamente.

Supongamos por ejemplo que los goles marcados han sido:

1-2-2-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-1-2